6 Zugänge zur Ellipse - ein handlungsorientiertes Unterrichtskonzept
Die Kreisgleichung ist Thema der Koordinatengeometrie in der Jahrgangsstufe 11. Der Unterschied zur Ellipsengleichung ist minimal, die Ellipse bietet jedoch ungleich mehr unterrichtliches und mathematisches Potential. Das vorgestellte Material enthät einsetzbare Arbeitsblätter und einen Advance Organizer zum Einstieg in die Unterrichtsreihe und offenbart die vielseitigen Möglichkeiten, die auch für den interessierten Fachlehrer spannende Mathematik bieten. Das dargestellten Unterrichtskonzept ist für den Einsatz als Gruppenpuzzle entwickelt worden. Durch diese Unterrichtsform wird eine hohe Aktivität der Lernenden und ein hoher Kommunikationsanteil erreicht.Die 6 Zugänge
- Die Faltkonstruktion ist ein enaktiver Zugang, der sich aus der sogenannten Leitkreiskonstruktion herleitet. Ein Blatt Papier wird mehrfach gefaltet, dabei hat die von Knickfalten freie Fläche die Form einer Ellipse.
- Bei der Leiterkonstruktion kommt dynamische Geometriesoftware (DGS) zum Einsatz. Dabei wird die Bahnkurve einer Katze beschrieben, die auf einer festen Sprosse einer Leiter sitzt, die an einer Hauswand herunterrutscht.
- Ausgehend von zwei konzentrischen Scheitelkreisen wird mit DGS die Ortskurve von Punkten konstruiert, deren y-Koordinate sich in Abhängigkeit vom Winkel so verhält wie der innere Kreis und deren x-Koordinate dem äusseren Kreis entspricht.
- Die bekannte Gärtnerkonstruktion der Ellipse ist wiederum ein enaktiver Zugang. Die Ellipse wird als Kurve identifiziert, deren Punkte eine feste Abstandssumme zu zwei gegebenen Punkten haben.
- Aus der Betrachtung von Gehrungsschnitten kann die Ellipse als verzerrter Kreis erfahren werden. Dabei ist bei festem Rohrdurchmesser immer die Länge der kurzen Halbachse der Ellipse gegeben.
- Die Gleichung der Ellipse als symbolische Darstellungsform darf natürlich nicht fehlen. Sie ermöglicht überhaupt die algebraische Behandlung in der Koordinatengeometrie.
Einordnung und Vergleich der Zugänge
| Zugang | Brennpunkte | (lange) Halbachse | (kurze) Halbachse | Kommentar |
|---|---|---|---|---|
| Faltkonstruktion | Mittelpunkt und gewählter Punkt |
Radius des Großkreises | - | Ermöglicht die Behandlung der Tangenten siehe auch Leitkreisdefinition und Ellipsenzirkel |
| Leiterkonstruktion | - | Abstand Katze zum ersten Leiterende |
Abstand Katze zum zweiten Leiterende |
Läßt sich vermutlich leicht in ein Werkzeug umwandeln. |
| Scheitelkreise | - | Radius des grossen Kreises |
Radius des kleinen Kreises |
Entspricht der Beschreibung durch Sinus und Cosinus |
| Gärtnerkonstruktion | Einstechpunkte der Pins |
Länge des Seils | - | Leichte Berechnung der kurzen Halbachse möglich |
| Gehrungsschnitte | - | Ergibt sich aus dem Gehrunswinkel |
Halber Rohrdurchmesser | Bietet Bezüge zu Streckung und Stauchung |
| Gleichung | - | a in der Gleichung | b in der Gleichung | evtl. Schwierig, da die Darstellung keine Funktion ist. Behandlung mit Excel oder Geogebra möglich. |
Ergänzendes Material
- Advance Organizer zum Thema Parabeln, Kreise und Ellipsen
- Didaktischer Kommentar
- Aufgabenblätter für das Gruppenpuzzle.
- EuklidDynaGeo-Dateien als zip (17 kB)